Chap5 弯曲应力 ¶

概述 ¶

梁弯曲的概念

梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为对称面（symmetric plane）；如果没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为主轴平面（plane including principal axed）

梁横截面上既有弯矩又有剪力，称为横力弯曲（transverse bending）；梁横截面上剪力等于零，而弯矩为常量，称为纯弯曲（pure bending）

平面假设

变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设（plane assumption）

中性层与中性轴

梁发生弯曲时，中间必定存在一长度不变的纤维层，称为中性层或中性面（neutral axis）

中性层与横截面的交线称为中性轴（neutral axis）

无法显示

纯弯曲变形假设：平面假设、纵向纤维间无正应力

纯弯曲时的正应力 ¶

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几何关系 ¶

根据平面假设可知，距中性层为 \(y\) 的纤维 \(bb\) 的长度变为

\[ \widehat{b'b'} = (\rho + y) \, \mathrm{d}\theta \]

\(\rho\) 为中性层的曲率半径

纤维 \(bb\) 的原长度为 \(\mathrm{d}x\)，且 \(\overline{bb} = \mathrm{d}x = \overline{OO}\)。因为变形前和变形后中性层内纤维 \(OO\) 的长度不变，故有

\[ \overline{bb} = \mathrm{d}x = \overline{OO} = \widehat{O'O'} = \rho \, \mathrm{d}\theta \]

纤维 \(bb\) 的应变为

\[\varepsilon=\frac{(\rho+y)\mathrm{d}\theta-\rho\mathrm{d}\theta}{\rho \mathrm{d}\theta}=\frac{y}{\rho}\]

可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比

物理关系 ¶

因为纵向纤维间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知

\[\sigma=E\varepsilon\]

即有

\[\sigma=E\frac{y}{\rho}\]

可见，任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化，且在中性层处等于零

静力关系 ¶

横截面上的微内力组成垂直于横截面的空间平行力系。这一力系只可能简化为三个内力分量，即平行于 \(x\) 轴的轴力 \(F_N\)，分别对 \(y\) 轴和 \(z\) 轴的力偶矩 \(M_{iy}\) 和 \(M_{iz}\)

内、外力必须满足平衡方程 \(\sum F_x=0\) 和 \(\sum M_y=0\)，即有

\[F_N=\int_A \sigma \mathrm{d}A=0\]

\[M_{iy}=\int_A z\sigma \mathrm{d}A=0\]

这样，横截面上的内力系最终只归结为一个力偶矩 \(M_{iz}\)，即弯矩 \(M\)

\[M_{iz}=M=\int_A y\sigma\mathrm{d}A\]

根据平衡方程，弯矩 \(M\) 和外力偶矩 \(M_e\) 大小相等，方向相反

\[\int_A \sigma\mathrm{d}A=\frac{E}{\rho}\int_A y\mathrm{d}A=0\]

式中 \(\frac{E}{\rho}\) 为非零常量，故必须有 \(\int_A y\mathrm{d}A=S_z=0\)，即横截面对 \(z\) 轴的静矩必须等于零，亦即 \(z\) 轴（中性轴）应通过截面形心

进一步有

\[M=\int_A y\sigma\mathrm{d}A=\frac{E}{\rho}\int_A y^2\mathrm{d}A\]

式中积分

\[\int_A y^2\mathrm{d}A=I_z\]

是横截面对 \(z\) 轴（中性轴）的惯性矩，即有

\[\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI_z}\]

\(\frac{1}{\rho}\) 为梁轴线变形后的曲率，\(EI_z\) 称为抗弯刚度（bending stiffness）

即有纯弯曲时正应力的计算公式

\[\sigma=\frac{My}{I_z}\]

横力弯曲时的正应力 ¶

一般情况下，最大弯曲正应力 \(\sigma_{\max}\) 发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处，有

\[\sigma_{\max}=\frac{M_{\max} y_{\max}}{I_z}\]

引入记号

\[W=\frac{I_z}{y_{\max}}\]

\[\sigma_{\max}=\frac{M}{W}\]

\(W\) 称为抗弯截面系数（the section modulus of bending），与截面的几何形状有关

若截面是高为 \(h\)、宽为 \(b\) 的矩形，\(W=\frac{bh^2}{6}\)

若截面是直径为 \(d\) 的圆形，\(W=\frac{\pi d^3}{32}\)

求出弯曲最大正应力后，弯曲正应力的强度条件为

\[\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{W}\le[\sigma]\]

弯曲切应力 ¶

矩形截面梁 ¶

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关于横截面上切应力的分布规律，作以下两个假设：（1）横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力 \(F_S\)；（2）切应力沿截面宽度均匀分布

\[F_{N2}=\int_{A_1} \sigma \mathrm{d}A\]

\[F_{N2}=\frac{M+\mathrm{d}M}{I_z}S_z^*\]

式中

\[S_z^*=\int_{A_1}y_1\mathrm{d}A\]

是横截面的部分面积 \(A_1\) 对中性轴的静矩

\[F_{N1}=\frac{M}{I_z}S_z^*\]

在顶面 \(rp\) 上，与顶面相切的内力系的合力是

\[\mathrm{d}F_s^\prime=\tau^\prime b\mathrm{d}x\]

应满足平衡方程 \(\sum F_x=0\)，即

\[F_{N2}-F_{N1}-\mathrm{d}F_S^\prime=0\]

简化后得到

\[\tau^\prime=\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{S_z^*}{I_z b}\]

由切应力互等定理，等于横截面的横线 \(pq\) 的切应力 \(\tau\)

对于矩形截面，有

\[S_z^*=\frac{b}{2}(\frac{h^2}{4}-y^2)\]

可得

\[\tau=\frac{F_s}{2I_z}(\frac{h^2}{4}-y^2)\]

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对于矩形截面，沿截面高度方向切应力按抛物线规律变化，截面上下边缘的各点处切应力为零，最大切应力发生在中性轴上

\[\tau_{\max}=\frac{3}{2}\frac{F_s}{A}=\frac{3}{2}\frac{F_s}{bh}\]

工字形截面梁 ¶

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\[\tau_{\max}=\frac{F_S}{I_zb_0}[\frac{bh^2}{8}-(b-b_0)\frac{h_0^2}{8}]\]

\[\tau_{\min}=\frac{F_S}{I_zb_0}[\frac{bh^2}{8}-\frac{bh_0^2}{8}]\]

因为腹板的宽度 \(b_0\) 远小于翼缘的宽度 \(b\)，因此 \(\tau_{\max}\) 与 \(\tau_{\min}\) 实际上相差不大；可以认为，在腹板上切应力大致是呈均匀分布的

可见，横截面上的剪力 \(F_S\) 的绝大部分由腹板所负担，近似得出腹板内的切应力为

\[\tau=\frac{F_S}{b_0h_0}\]

翼缘负担了截面上的大部分弯矩

圆形截面梁 ¶

\[\tau_{\max}=\frac{4}{3}\frac{F_s}{A}=\frac{3}{2}\frac{F_s}{\pi R^2}\]

细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。满足弯曲正应力强度条件的梁，一般来说都能满足切应力的强度条件

关于弯曲理论的基本假设 ¶

提高弯曲强度的措施 ¶

合理安排梁的受力情况 ¶

尽量降低梁内的最大弯矩，合理布置载荷

梁的合理截面 ¶

采用比值 \(\frac{W_z}{A}\) 来衡量截面形状的合理性和经济性

弯曲时，梁截面上的点离中性轴越远，正应力越大。为充分利用材料，应尽可能地把材料置放到离中性轴较远处，如实心圆形截面改为空心圆形截面、矩形截面改为工字形截面

等强度梁的概念 ¶

在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面，这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁

如果变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，就是等强度梁

常用阶梯形状的变截面梁（阶梯轴）来代替理论上的等强度梁

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