Chap3 多维随机变量及其分布
Chap3 多维随机变量及其分布 ¶
二元离散型随机变量 ¶
联合分布 边际分布 条件分布
二元随机变量的分布函数 ¶
联合分布函数
\[
F(x,y) = P\{X \le x, Y \le y\}
\]
边际分布函数
\[
F_X(x) = F(x, + \infty)
\]
\[
F_Y(y) = F(+\infty ,y)
\]
条件分布函数
\[
F_{Y|X}(y|x_i)= P\{Y \le y|X =x_i\}
\]
二元连续型随机变量的联合分布 ¶
联合密度函数
\[
F(x,y)= \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f(u,v)dudv
\]
在 \(f(x,y)\) 的连续点上有
\[
\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}=f(x,y)
\]
\((X,Y)\) 落入 \(xOy\) 平面任意区域 \(D\) 的概率为
\[
P\{ (X,Y) \in D\} = \iint_D f(x,y)dxdy
\]
边际分布
\[
f_X(x)=\int_{- \infty}^{+\infty}f(x,y)dy
\]
\[
f_Y(y)=\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dx
\]
条件分布
\[
f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}
\]
二元正态分布
\[(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho)\]
随机变量的独立性 ¶
相互独立
\[
P\{X \le x, Y \le y\}=P\{X \le x\}\cdot P\{Y \le y\}
\]
即 \(F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\) 时，\(X\)，\(Y\) 相互独立
\(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\) 几乎处处相等为连续型随机变量为 X，Y 相互独立的等价定义
二元随机变量函数的分布 ¶
\(Z=X+Y\) 的分布
\(M=\max(X,Y)\) 的分布
\[
F_M(t)=\prod_{i=1}^{n} F_i(t)
\]
\(N=\min(X,Y)\) 的分布
\[
F_N(t)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_i(t)]
\]
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