Chap3 微分中值定理及导数的应用 ¶

微分中值定理 ¶

费马定理、最大（小）值 ¶

费马定理

设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处取到极值，且 \(f^\prime(x_0)\) 存在，则 \(f^\prime(x_0)=0\)

极值点一定包含在驻点或导数不存在的点之中

最大值点与最小值点一定包含在区间端点、区间内部的驻点及区间导数不存在的点之中

罗尔定理 ¶

拉格朗日定理、函数的单调区间 ¶

泰勒定理及应用 ¶

函数图形的凹凸性与拐点 ¶

曲线凹凸的判定定理

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内具有二阶导数，那么

(1) 若 \(x\in(a,b)\)，有 \(f^{\prime\prime}(x)>0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是凹的

(1) 若 \(x\in(a,b)\)，有 \(f^{\prime\prime}(x)<0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是凸的

拐点

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内具有二阶导数，若 \((x_0,f(x_0))\) 是曲线 \(y=f(x_0)\) 的拐点或变凹点

函数图形的描绘 ¶

曲线的斜渐进线 ¶

斜渐进线

设函数 \(y=f(x)\) 在 \((-\infty,-c]\cup[c,+\infty](c\ge0)\) 内有定义，若存在一个已知的直线 \(L:y=ax+b\)（\(a\)、\(b\) 为常数），使得曲线 \(y=f(x)\) 上的动点 \(M(x,y)\)，当它沿着曲线无限远离原点（即 \(x\rightarrow\infty\) 时），点 \(M\) 到直线 \(L\) 的距离 \(d\) 趋于 0，则称直线 \(L\) 是曲线 \(y=f(x)\) 当 \(x\rightarrow\infty\) 时的斜渐进线

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易得

\[a=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-ax)\]

当 \(a=0\) 时，\(y=b\) 称为曲线的水平渐进线，水平渐进线包含在斜渐进线中

垂直渐进线 ¶

垂直渐进线

当曲线上点 \(M(x,f(x))\) 沿着曲线无限远离原点时，点 \(M\) 到直线 \(x=x_0\) 的距离 \(d\) 趋于零，则称直线 \(x=x_0\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐进线或铅垂渐进线

wfxs

由定义知，\(x=x_0\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐进线的充要条件是 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\) 或 \(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty\) 或 \(\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty\)

导数在经济中的应用 ¶

经济中常用函数 ¶

成本函数 ¶

设 \(C_1\) 为固定成本，\(C_2\) 为可变成本，\(\bar{C}\) 为平均成本，则总成本

\[C(q)=C_1+C_2(q), \bar{C}(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{C_1}{q}+\frac{C_2(q)}{q}\]

收益函数 ¶

设 \(p\) 为平均收益，则总收益

\[R=qp=qp(q)\]

利润函数 ¶

设利润为 \(L\)，则有

\[L=R-C\]

需求函数 ¶

设 \(p\) 表示商品价格，\(q\) 表示需求量，则 \(q=f(p)\) 是单调递减函数，称为需求函数

供给函数 ¶

设 \(p\) 表示商品价格，\(q\) 表示供给量，则 \(q=\varphi(p)\) 是单调递减函数，称为供给函数

边际分析 ¶

边际成本 \(MC\) 和边际收益 \(MR\)

\[MC=C^\prime(q)\]

\[MR=R^\prime(q)\]

弹性分析 ¶

弹性的概念 ¶

弹性

函数 \(y=f(x)\) 的相对改变量

\[\frac{\Delta y}{y_0}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{y_0}\]

与自变量的相对改变量 \(\frac{\Delta x}{x_0}\) 之比 \(\frac{\Delta y}{y_0}/\frac{\Delta x}{x_0}\) 称为函数 \(y=f(x)\) 从 \(x=x_0\) 到 \(x=x_0+\Delta x\) 两点间的相对变化率或称两点间的弹性

若 \(f^\prime(x)\) 存在，则极限值

\[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y/y_0}{\Delta x/x_0}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x_0}{y_0}\cdot \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)\frac{x_0}{y_0}\]

称为 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的相对变化率，或相对导数或弹性，记作 \(\frac{Ey}{Ex}|_{x=x_0}\) 或 \(\frac{E}{Ey}f(x_0)\)

若 \(f^\prime(x)\) 存在，则

\[\frac{Ey}{Ex}=f^\prime(x)\frac{x}{y}\]

称为 \(f(x)\) 的弹性函数

需求弹性 ¶

供给弹性 ¶

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