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Chap3 微分中值定理及导数的应用

微分中值定理

费马定理、最大（小）值

极值与极值点

若存在 \(x_0\) 的某邻域 \((U(x_0, \delta)\)，使得对一切 \(x \in U(x_0, \delta)\)，都有 \(f(x_0) \geqslant f(x)(f(x_0) \leqslant f(x))\)，则称 \(f(x_0)\) 为极大值（极小值），称 \(x_0\) 为极大（小）值点

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点

费马定理

设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处取到极值，且 \(f^\prime(x_0)\) 存在，则 \(f^\prime(x_0)=0\)

极值点一定包含在驻点或导数不存在的点之中

最大值点与最小值点一定包含在区间端点、区间内部的驻点及区间导数不存在的点之中

罗尔定理

拉格朗日定理、函数的单调区间

未定式的极限

洛必达法则Ⅰ

设

（1） \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0\)， \(\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0\)；

（2）存在 \(x_0\) 的某邻域 \(\mathring{U}(x_0)\)，当 \(x \in \mathring{U}(x_0)\) 时，\(f'(x)\)，\(g'(x)\) 都存在，且 \(g'(x) \neq 0\)；

（3） \(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = A\)（或 \(\infty\)），

则

\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A \text{(or } \infty \text{)}. \]

洛必达法则Ⅱ

设

（1） \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\)， \(\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \infty\)；

（2）存在 \(x_0\) 的某邻域 \(\mathring{U}(x_0)\)，当 \(x \in \mathring{U}(x_0)\) 时，\(f'(x)\)，\(g'(x)\) 都存在，且 \(g'(x) \neq 0\)；

（3） \(\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = A\)（或 \(\infty\)），

则

\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A \text{(or } \infty \text{)}. \]

泰勒定理及应用

泰勒定理

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上 \(n\) 阶连续可导，在 \(I\) 内部存在 \(n+1\) 阶导数，\(x_0 \in I\)，任给 \(x \in I\)，且 \(x \neq x_0\)，有

\[ \begin{aligned} f(x) &= P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \\ &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \\ &\quad \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \end{aligned} \]

其中，\(\xi\) 是介于 \(x_0\) 与 \(x\) 之间的某一点

\[ P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

称为 \(n\) 次泰勒多项式

麦克劳林展开式

常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \]
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \]
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \]
\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) \]
\[ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \]
\[ \arcsin x = x + \frac{x^3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5}x^5 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}x^7 + \cdots + \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1} + o(x^{2n+1}), \quad (|x| < 1) \]
\[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}), \quad (|x| \le 1) \]
\[ \sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{1385x^8}{40320} + \cdots + \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} + o(x^{2n}), \quad (|x| < \frac{\pi}{2}) \]

函数图形的凹凸性与拐点

曲线凹凸的判定定理

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内具有二阶导数，那么

(1) 若 \(x\in(a,b)\)，有 \(f^{\prime\prime}(x)>0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是凹的

(1) 若 \(x\in(a,b)\)，有 \(f^{\prime\prime}(x)<0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是凸的

拐点

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内具有二阶导数，若 \((x_0,f(x_0))\) 是曲线 \(y=f(x_0)\) 的拐点或变凹点

函数图形的描绘

曲线的斜渐进线

斜渐进线

设函数 \(y=f(x)\) 在 \((-\infty,-c]\cup[c,+\infty](c\ge0)\) 内有定义，若存在一个已知的直线 \(L:y=ax+b\)（\(a\)、\(b\) 为常数），使得曲线 \(y=f(x)\) 上的动点 \(M(x,y)\)，当它沿着曲线无限远离原点（即 \(x\rightarrow\infty\) 时），点 \(M\) 到直线 \(L\) 的距离 \(d\) 趋于 0，则称直线 \(L\) 是曲线 \(y=f(x)\) 当 \(x\rightarrow\infty\) 时的斜渐进线

wfxs

易得

\[a=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-ax)\]

当 \(a=0\) 时，\(y=b\) 称为曲线的水平渐进线，水平渐进线包含在斜渐进线中

垂直渐进线

垂直渐进线

当曲线上点 \(M(x,f(x))\) 沿着曲线无限远离原点时，点 \(M\) 到直线 \(x=x_0\) 的距离 \(d\) 趋于零，则称直线 \(x=x_0\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐进线或铅垂渐进线

wfxs

由定义知，\(x=x_0\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐进线的充要条件是 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\) 或 \(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty\) 或 \(\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty\)

导数在经济中的应用

经济中常用函数

成本函数

设 \(C_1\) 为固定成本，\(C_2\) 为可变成本，\(\bar{C}\) 为平均成本，则总成本

\[C(q)=C_1+C_2(q), \bar{C}(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{C_1}{q}+\frac{C_2(q)}{q}\]

收益函数

设 \(p\) 为平均收益，则总收益

\[R=qp=qp(q)\]

利润函数

设利润为 \(L\)，则有

\[L=R-C\]

需求函数

设 \(p\) 表示商品价格，\(q\) 表示需求量，则 \(q=f(p)\) 是单调递减函数，称为需求函数

供给函数

设 \(p\) 表示商品价格，\(q\) 表示供给量，则 \(q=\varphi(p)\) 是单调递减函数，称为供给函数

边际分析

边际成本 \(MC\) 和边际收益 \(MR\)

\[MC=C^\prime(q)\]
\[MR=R^\prime(q)\]

弹性分析

弹性的概念

弹性

函数 \(y=f(x)\) 的相对改变量

\[\frac{\Delta y}{y_0}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{y_0}\]

与自变量的相对改变量 \(\frac{\Delta x}{x_0}\) 之比 \(\frac{\Delta y}{y_0}/\frac{\Delta x}{x_0}\) 称为函数 \(y=f(x)\) 从 \(x=x_0\) 到 \(x=x_0+\Delta x\) 两点间的相对变化率或称两点间的弹性

若 \(f^\prime(x)\) 存在，则极限值

\[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y/y_0}{\Delta x/x_0}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x_0}{y_0}\cdot \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)\frac{x_0}{y_0}\]

称为 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的相对变化率，或相对导数或弹性，记作 \(\frac{Ey}{Ex}|_{x=x_0}\) 或 \(\frac{E}{Ey}f(x_0)\)

若 \(f^\prime(x)\) 存在，则

\[\frac{Ey}{Ex}=f^\prime(x)\frac{x}{y}\]

称为 \(f(x)\) 的弹性函数

需求弹性

供给弹性

曲率

曲率

当 \(\tau \rightarrow0\)（\(N\) 沿曲线趋于 \(M\)）时，若平均曲率 \(\frac{\theta}{\tau}\) 的极限存在，则该极限值称为曲线在点 \(M\) 的曲率，记作 \(k\)，即

\[k=\lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\theta}{\tau}\]

曲率公式

\[ k = \frac{\left| y''x' - x''y' \right|}{\left( x'^2 + y'^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \]
\[ k = \frac{\left| y'' \right|}{\left( 1 + y'^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \]

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